Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形， 底面， ， ， 為棱中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求四棱錐外接球的體積.

Answer 1

【答案】(I) 見解析;(II) ．

【解析】試題分析：（1）證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發(fā)給予證明，而線線垂直的尋找與論證，往往從兩個(gè)方面進(jìn)行，一是利用條件中的線面垂直性質(zhì)定理得到線線垂直，二是利用平幾知識(shí)，如等腰三角形性質(zhì)得到線線垂直，(2)求球的體積關(guān)鍵在于確定球心,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可確定外接球球心為線段和線段的垂直平分線交點(diǎn),再根據(jù)勾股定理求半徑,最后代入球體積公式即可.

試題解析：(I)證明：∵底面， 底面，

∴，又∵底面為矩形，∴， ， 平面， 平面，

∴平面，又平面，∴， ， 為中點(diǎn)，∴， ， 平面， 平面，∴平面.

(II)法一：四棱錐外接球球心在線段和線段的垂直平分線交點(diǎn)，

由已知，

設(shè)為中點(diǎn)，∴，∴，

∴四棱錐外接球是．

法二：四棱錐外接球和過的長(zhǎng)方體外接球相同，

球心在對(duì)角線的中點(diǎn)

由已知對(duì)角線，

∴球的半徑為3，

∴四棱錐外接球是．