Question

【題目】已知函數．

若，求函數的單調區間；

若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為，對于任意的，函數在區間上總不是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為．（2）

【解析】

（1）f（1）=﹣5，0﹣a﹣3=﹣5，解得a．利用導數研究函數的單調性即可得出．

（2）由f（x）=alnx﹣ax﹣3，可得f′（x）=﹣a．由題意可得：f′（2）=﹣a=tan45°=1，解得a=﹣2．可得f′（x）=﹣+2．g（x）=x3+x2=x3+x2﹣2x，g′（x）=3x3+（m+4）x﹣2．g′（0）=﹣2．函數g（x）=x3+x2[f′（x）+]在區間（t，3）上總不是單調函數，可得，由題意可知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立．利用單調性即可得出．

（1）∵f（1）=﹣5，0﹣a﹣3=﹣5，解得a=2．

∴f（x）=2lnx﹣2x﹣3．

∴f′（x）=﹣2=，（x＞0）．

∴函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為（1，+∞）．

（2）∵f（x）=alnx﹣ax﹣3，∴f′（x）=﹣a．

由題意可得：f′（2）=﹣a=tan45°=1，解得a=﹣2．

∴f（x）=﹣2lnx+2x﹣3．f′（x）=﹣+2．

g（x）=x3+x2[f′（x）+]=x3+x2=x3+x2﹣2x，

∴g′（x）=3x3+（m+4）x﹣2．g′（0）=﹣2．

函數g（x）=x3+x2[f′（x）+]在區間（t，3）上總不是單調函數，

∴，由題意可知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立．

∴3t2+（m+4）t﹣2＜0，則﹣（m+4）＞3t﹣對任意的t∈[1，2]成立．

又3t﹣在t∈[1，2]為增函數，則﹣（m+4）＞6﹣1，

∴＜m＜﹣9．