Question

已知數列{a_n}是首項為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數列，設數列{b_n}滿足b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n+b_n}的前n項和為S_n；
（2）若數列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，若c_n≤

1

4

m²+m-1對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件求出an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，所以a_n+b_n=(

1

4

)n+(3n-2)，由此能求出數列{a_n+b_n}的前n項和S_n．
（2）c_n=a_n•b_n=(3n-2)×(

1

4

)n，n∈N^*．由c_n+1-c_n=9（1-n）•(

1

4

)n=1，得當n=1時，c_n取最大值是

1

4

．由此能求出實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}是首項為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數列，
∴an=(

1

4

)n，n∈N^*，
∵bn=3log

1

4

an-2，∴b_n=3n-2，
∴a_n+b_n=(

1

4

)n+(3n-2)，
∴S_n=

1-( 1 4 )n

3

+

n(n+1)

2

．
（2）∵an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，
∴c_n=a_n•b_n=(3n-2)×(

1

4

)n，n∈N^*．
∵c_n+1-c_n=（3n+1）•（

1

4

）ⁿ⁺¹-（3n-2）•(

1

4

)n
=9（1-n）•(

1

4

)n-1，n∈N^*．
∴當n=1時，c_n取最大值是

1

4

．
又cn≤

1

4

m2+m-1對一切正整數n恒成立，
∴

1

4

m2+m-1≥

1

4

，
整理，得m²+4m-5≥0，
解得m≥1，或m≤-5．

點評：本題考查數列的前n項和的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．