Question

已知函數f（x）=

2ax-a2+1

x2+1

（x∈R），其中a＞0．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的單調區間及在（-1，+∞）上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）求導函數，可得切線的斜率，求出切點坐標，利用點斜式可得切線方程；
（2）求導函數，利用導數的正負，確定函數y=f（x）的單調性，從而可求在（-1，+∞）上的最大值．

解答： 解：（1）當a=1時，f(x)=

2x

x2+1

，f（1）=1，…（1分）
又f′(x)=

2(x2+1)-4x2

(x2+1)2

=

2-2x2

(x2+1)2

，則f'（1）=0．    …（3分）
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-1=0． …（4分）
（2）f′(x)=

2a(x2+1)-2x(2ax-a2+1)

(x2+1)2

=

-2(x-a)(ax+1)

(x2+1)2

．
由于a＞0，令f'（x）=0，得到x1=-

1

a

，x₂=a，…（6分）
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	cos2x-cosx≤k2-k（x∈R）	- 1 a	(- 1 a ，a)	a	（a，+∞）
f（a）=1	-	0	+	0	-
f（x）		極小值	&	極大值

…（9分）
∴f（x）在區間(-∞，-

1

a

)，（a，+∞）內為減函數，在區間(-

1

a

，a)內為增函數．
故函數f（x）在點x₂=a處取得極大值{a_n}，且f（a）=1．
∵f（-1）=

-2a-a2+1

2

，且f（-1）-f（a）=

-2a-a2+1

2

-1=

-2a-a2-1

2

＜0，
∴f（x）在-1，+∞）上的最大值為1．        …（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，正確求導是關鍵．