Question

【題目】已知圓，橢圓的短半軸長等于圓的半徑，且過右焦點的直線與圓相切于點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若動直線與圓相切，且與相交于兩點，求點到弦的垂直平分線距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值為.

【解析】

（1）由條件知，，求出過右焦點的直線與圓相切于點直線方程，再利用點到直線的距離公式，可得出，從而，即可得橢圓的方程；

（2）設點到弦的垂直平分線的距離為，

①若直線軸，則弦的垂直平分線為軸，所以，若直線軸，則弦的垂直平分線為軸，所以．

②設，的中點坐標為，利用點差法求出，進而得出直線的方程為，再根據直線與圓相切，利用點到直線的距離公式，得出，從而得出弦的垂直平分線方程為，最后再利用點到直線的距離公式，即可求出點到弦的垂直平分線的距離，結合運用基本不等式求出距離的最大值.

解：（1）由條件知，所以，

設橢圓右焦點坐標為，

則過該點與圓相切于點的直線方程為：

，

化簡得：，

圓到直線的距離等于半徑1，即，

解得:，從而 ，

所以橢圓C的方程為： .

（2）設點到弦的垂直平分線的距離為，

①若直線軸，則弦的垂直平分線為軸，所以，

若直線軸，則弦的垂直平分線為軸，所以．

②設，的中點坐標為，

由點在橢圓上，得

①-②得，，

即，

所以直線的方程為：，

化簡得：.

因為直線與圓相切，所以，

化簡得：，

又因為弦的垂直平分線方程為：，

即.

所以，點到弦的垂直平分線的距離為：

.

當且僅當時，取等號．

所以點到弦的垂直平分線的距離最大值為.