Question

【題目】設(shè)是在點(diǎn)處的切線．

（1）求證： ；

（2）設(shè)，其中．若對(duì)恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)得切線斜率，進(jìn)而得切線方程，令，求導(dǎo)利用單調(diào)性可得，從而得證.

（2）由，結(jié)合定義域，討論時(shí)，由可得，得函數(shù)單增，可證得，討論時(shí)，由導(dǎo)數(shù)可得存在 ，使得，，從而得解.

（1）設(shè) ，則，所以．所以 ．

令．

滿足，且．

當(dāng)時(shí)， ，故單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，故單調(diào)遞增．

所以， ．所以 ．

（2）法一： 的定義域是，且 ．

① 當(dāng)時(shí)，由（1）得 ，

所以 ．

所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 所以 恒成立，符合題意．

② 當(dāng)時(shí)，由，且的導(dǎo)數(shù)，

所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增．

因?yàn)?/span>，

于是存在 ，使得．

所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，此時(shí)不會(huì)恒成立，不符合題意．

綜上， 的取值范圍是．

法二：∵

∴

當(dāng)

當(dāng)

令=

令,

故,故，

綜上.