Question

【題目】已知焦點在x軸的橢圓的離心率與雙曲線3x2-y2=3的離心率互為倒數，且過點，求：（1）求橢圓方程；

（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M，N，點，有|MP|=|NP|，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由雙曲線的標準方程，求得離心率，代入即可求得橢圓的離心率為．設橢圓方程，將橢圓的標準方程，即可求得的，即可求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及中點坐標公式，即可求得中點的坐標為，求得其垂直平分線方程，在上，代入求得的值，代入即可求得的取值范圍．

（1）雙曲線3x2-y2=3的標準方程：，a=1，b=，c=2，

橢圓的離心率為e===2． 由題意可得，橢圓的離心率e=，

設橢圓方程為（a＞b＞0）， 由e==，則a=2c，

∴b2=a2-c2=3c2， ∴橢圓方程為．

又點（1，）在橢圓上， ∴，解得：c2=1，

∴橢圓的方程為：；

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），

∴，消去y并整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

∵直線y=kx+m與橢圓有兩個交點，

△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即m2＜4k2+3，

由x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，

∴MN中點P的坐標為（-，）， 即為|MP|=|NP|，

∴P在MN的垂直平分線上，

設MN的垂直平分線l′方程：y=-（x-），

∵P在l′上，

∴=-（--），得4k2+5km+3=0，解得：m=-，

將上式代入①式得＜4k2+3，即k2＞，

解得：k＞或k＜-，

∴k的取值范圍為（-∞，-）∪（+∞）．