Question

過點(2

2

，

3

)的雙曲線C的漸近線方程為y=±

3

2

x，P為雙曲線C右支上一點，F為雙曲線C的左焦點，點A（0，3），則|PA|+|PF|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先求出雙曲線的方程，根據A點在雙曲線的兩支之間，由雙曲線的定義|PF|-|PF′|=2a=4，進而根據PA|+|PF′|≥|AF′|=5兩式相加求得答案．

解答： 解：由題意，設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則
∵過點(2

2

，

3

)的雙曲線C的漸近線方程為y=±

3

2

x，
∴

b a = 3 2 8 a2 - 3 b2 =1

，
∴a=2，b=

3

，
∵A點在雙曲線的兩支之間，且雙曲線右焦點為F′（

7

，0），
∴由雙曲線的定義|PF|-|PF′|=2a=4
而|PA|+|PF′|≥|AF′|=4
兩式相加得|PF|+|PA|≥4+4=8，當且僅當A、P、F′三點共線時等號成立．
∴|PA|+|PF|的最小值為8
故答案為：8．

點評：本題主要考查了雙曲線的定義，考查了學生對雙曲線定義的靈活運用．