Question

如圖，已知圓內接四邊形ABCD的邊長為AB=2，BC=6，CD=DA=4，則四邊形ABCD面積為（ ）

A. B.8 C. D.8

 

Answer 1

D

【解析】

試題分析：連結BD，可得四邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△CBD，由圓內接四邊形性質、誘導公式和三角形面積公式，化簡得S=（AB•AD+BC•CD）sinA=16sinA．再根據△ABD和△CBD有公共邊BD，利用余弦定理列式解出cosA的值，從而解得A=120°，代入前面式子即可得出四邊形ABCD的面積．

【解析】
連結BD，可得四邊形ABCD的面積為

S=S△ABD+S△CBD=AB•ADsinA+BC•CDsinC

∵四邊形ABCD內接于圓，∴A+C=180°，可得sinA=sinC．

S=AB•ADsinA+BC•CDsinC

=（AB•AD+BC•CD）sinA=（2×4+6×4）sinA=16sinA．…（*）

在△ABD中，由余弦定理可得

BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=22+42﹣2×2×4cosA=20﹣16cosA，

同理可得：在△CDB中，BD2=CB2+CD2﹣2CB•CDcosC=62+42﹣2×6×4cosC=52﹣48cosC，

∴20﹣16cosA=52﹣48cosC

結合cosC=cos（180°﹣A）=﹣cosA，得64cosA=﹣32，解得cosA=﹣，

∵A∈（0°，180°），∴A=120°，

代入（*）式，可得四邊形ABCD面積S=16sin120°=8

故選：D