Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，，為全等的正三角形，且平面平面，平面平面，．

（1）證明：；

（2）求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）分別取的中點，連接，由題中的面面垂直可得平面，平面，從而得四邊形為平行四邊形，進而可得證；

（2）點到平面的距離與三棱錐的高相等，進而由等體積計算即可得距離.

（1）證明：分別取的中點，連接

因為為正三角形，

所以，，

因為平面平面，平面平面，

且平面平面，

平面平面，

所以平面，平面，

所以，

所以，為全等的正三角形，

所以，

故四邊形為平行四邊形，

所以，

因為，

所以.

（2）解：記點到平面的距離為，由圖可知點到平面的距離與三棱錐的高相等，

而三棱錐的體積與三棱錐的體積相同.

因為，

所以，的邊長為，，

，

所以三棱錐的體積

在梯形中，，，

所以梯形的高為，

所以的面積，

于是由等體積法，可得，

所以，

所以，

故點到平面的距離為.