Question

在如圖所示的多面體中，已知正方形ABCD和
直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，EF∥BD，
ED⊥BD，AD=

2

，EF=ED=1，點(diǎn)P為線段
EF上任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CF⊥AP；
（Ⅱ）求二面角B-AF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由題意平面BDEF⊥平面ABCD，ED⊥BD，得ED⊥平面ABCD，在利用所給的邊長(zhǎng)關(guān)系得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直，再有線面垂直得出線線垂直即可；
（II）由題意及所給圖形利用（I）的證明過(guò)程及二面角的概念可以找到二面角的平面角，然后再在三角形中解出．

解答：解：（Ⅰ）∵平面BDEF⊥平面ABCD，ED⊥BD，
∴ED⊥平面ABCD
連接AC交BD于點(diǎn)O，連接FO，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

2

，∴AC=BD=2；
在直角梯形BDEF中，∵EF=ED=1，
O為BD中點(diǎn)，∴FO∥ED，且FO=1；
易求得AF=CF=

2

，AE=CE=

3

，
由勾股定理知CF⊥EF，AF⊥EF
由AF=CF=

2

，AC=2可知CF⊥AF．EF∩AF=F，∴CF⊥平面AEF
∵點(diǎn)P為線段EF上任意一點(diǎn)，∴AP?平面AEF∴CF⊥AP
（Ⅱ）取AF中點(diǎn)M，AE中點(diǎn)N，連接BM、MN、BN，
∵AB=AF=BF=

2

，∴BM⊥AF，又MN∥EF，AF⊥EF∴MN⊥AF
∴∠BMN是二面角B-AF-E的平面角．
易求得BM=

3

2

AB=

6

2

，MN=

1

2

EF=

1

2

，設(shè)AD中點(diǎn)為Q，則NQ∥ED，
NQ⊥BQ，可求得BN²=NQ²+BQ²=

11

4

，
在△BMN中，由余弦定理求得，cos∠BMN=-

6

3

二面角B-AF-E的余弦值為-

6

3

點(diǎn)評(píng)：（I）此問(wèn)重點(diǎn)考查了利用面面垂直得到線面垂直，在有線線垂直得到線面垂直，有線面垂直得出線線垂直．這三者的相互轉(zhuǎn)化；
（II）此問(wèn)重點(diǎn)考查了二面角的平面角的概念及利用定義求其二面角的方法，還考查了利用余弦定理解三角形．