Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在處取得的極大值；函數(shù)無(wú)極小值. （2）證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）求出，令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，令求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值；（2）對(duì)進(jìn)行討論： ， ， ， ，針對(duì)以上四種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性討論函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)情況，排除不是兩個(gè)零點(diǎn)的情況，可得有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)， 的取值范圍是，由（1）知在單調(diào)遞減，故只需證明即可，又，只需利用導(dǎo)數(shù)證明即可.

試題解析：（1）由得，

當(dāng)時(shí)， ，若；若 ，

故當(dāng)時(shí)， 在處取得的極大值；函數(shù)無(wú)極小值.

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在處取得極大值，且當(dāng)趨向于時(shí)， 趨向于負(fù)無(wú)窮大，又有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得.

當(dāng)時(shí)，若；若；若，則在處取得極大值，在處取得極小值，由于，則僅有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)， ，則僅有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，若；若；若，則在處取得極小值，在處取得極大值，由于，則僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上， 有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)， 的取值范圍是.

兩零點(diǎn)分別在區(qū)間和內(nèi)，不妨設(shè).

欲證，需證明，

又由（1）知在單調(diào)遞減，故只需證明即可.

，

又，

所以，

令，則，

則在上單調(diào)遞減，所以，即，

所以.