Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（2）已知不等式在上恒成立，求實數(shù)的最大值；

（3）當時，求函數(shù)的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）9個

【解析】

(1) 當時，可得是偶函數(shù)，當時，可得是非奇非偶函數(shù).
(2) 當時, ,即將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，只要使．然后求出的導數(shù)，求出函數(shù)的最小值.
（3）當時，，得到得或，問題即求和和三個方程總的解的個數(shù)．

解：（1）函數(shù)定義域為，關(guān)于原點對稱．

當時，，，

，

則是定義在上的偶函數(shù)；

當時，，，

且，

所以是非奇非偶函數(shù)．

（2）當時，，即已知在上恒成立，

即在上恒成立，

令，只要使．

，因為，

當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

即的最小值是，

解不等式，得．所以實數(shù)的最大值是．

（3）當時，，解得或，

問題即求和和三個方程總的解的個數(shù)．

由（1）得函數(shù)是偶函數(shù)，

當時，，，

當時，，在上單調(diào)遞減；

當時，，在上單調(diào)遞增；

所以，且

由偶函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

方程有3個解；方程有2個解；

方程有4個解；所以函數(shù)的零點個數(shù)是9個．