Question

【題目】設橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點D在橢圓C上， 的周長為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過圓上任意一點P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

(1) 由，周長,解得,即可求得標準方程.

(2)通過特殊情況的斜率不存在時,求得,再證明的斜率存在時,即可證得為定值.通過設直線的方程為與橢圓方程聯立,借助韋達定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關系代入,化簡即可證得即可證得結論.

（1）由題意得，周長，且.

聯立解得，，所以橢圓C的標準方程為.

（2）①當直線l的斜率不存在時，不妨設其方程為，

則，

所以，即.

②當直線l的斜率存在時，設其方程為，并設，

由，

，，

由直線l與圓E相切，得.

所以

.

從而，即.

綜合上述，得為定值.