Question

已知焦點為F₁、F₂的雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1上有一點P，且直線PF₁、PF₂的傾斜角之差為

π

3

，則△PF₁F₂的面積為

16

3

．

Answer 1

分析：可得∠F₁PF₂=

π

3

，由雙曲線的定義平方可得|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=36，①由余弦定理可得|PF1|2-2|PF1||PF2|cos

π

3

+|PF2|2=4c²=100  ②兩式相減可得|PF₁||PF₂|=64，代入面積公式S=

1

2

|PF₁||PF₂|sin

π

3

，計算可得．

解答：解：由題意可得∠F₁PF₂=

π

3

，
由雙曲線的定義可得||PF₁|-|PF₂||=2a=6，
平方可得|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=36，①
在△F₁PF₂中由余弦定理可得|PF1|2-2|PF1||PF2|cos

π

3

+|PF2|2=4c²=100  ②
②-①可得|PF₁||PF₂|=64，故△PF₁F₂的面積S=

1

2

|PF₁||PF₂|sin

π

3

=16

3

故答案為：16

3

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，涉及余弦定理和三角形的面積公式，屬中檔題．