Question

已知焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）的橢圓經過點（1，），直線l過點F₂與橢圓交于A、B兩點，其中O為坐標原點．
（1）求的范圍；
（2）若與向量共線，求的值及△AOB的外接圓方程．

Answer 1

解：（1）∵焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）的橢圓經過點（1，），
∴，∴，
∵焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）
∴c=1
∴b²=1，所以橢圓的方程是，
直線方程y=k（x-1）代入橢圓的方程，消去y，化簡為（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴==（#）
令=m，則≥0，∴，∴
當k不存在時，，則=
綜上，（6分）
（2）
∵與向量共線
∴
∴
由韋達定理知k=0或k=代入（#）得=-2或0
當=-2時，A，O，B共線，不存在外接圓
當=0時，，外接圓直徑為AB，圓心為（，-），
∴△AOB的外接圓方程為
分析：（1）利用焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）的橢圓經過點（1，），結合橢圓的定義，可以求出橢圓的標準方程，再將直線方程與橢圓方程聯立，將數量積用坐標表示，就可以求出的范圍；
（2）與向量共線，及韋達定理，我們可以求出的值，再分類求出△AOB的外接圓方程即可．
點評：橢圓的標準方程的確定，關鍵是確定橢圓的幾何量，直線與橢圓的位置關系問題，通常要利用韋達定理，注意掌握技巧與方法．