Question

【題目】已知函數(shù).

(1)設(shè)函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當(dāng) 時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而得到其導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)的取值進(jìn)行分類討論可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意即證不等式成立，設(shè) ，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得 ，然后再證明即可得到結(jié)論成立．

（1）由題意得，

所以，

令，得或．

①當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．

②當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．

③當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增．

④當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．

綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）由題意得即證不等式成立．

設(shè)，

則，

又，

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．

∴．

又，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

∴，即．