Question

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求證：BD⊥平面POA；

(2)記三棱錐P－ABD的體積為V1，四棱錐P－BDEF的體積為V2，求當PB取得最小值時V1∶V2的值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）4∶3

【解析】(1)證明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO.

∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，

∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO?平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，

∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD.

∵AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.

(2)連接OB，設AO∩BD＝H.由(1)知，AC⊥BD.

∵∠DAB＝60°，BC＝4，∴BH＝2，CH＝2.

設OH＝x(0＜x＜2)．

由(1)知，PO⊥平面ABFED，∴PO⊥OB，即△POB為直角三角形．

∴PB2＝OB2＋PO2＝(BH2＋OH2)＋PO2，

∴PB2＝4＋x2＋(2－x)2＝2x2－4 x＋16＝2(x－)2＋10.

當x＝時，PB取得最小值，此時O為CH的中點．

∴S△CEF＝ S△BCD，

∴S梯形BFED＝S△BCD＝S△ABD，

∴V1＝ S△ABD·PO，V2＝ S梯形BFED·PO.

∴＝.

∴當PB取得最小值時，V1∶V2的值為4∶3.