Question

已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正（主）視圖和側（左）視圖如圖所示．設△ABC，△A′B′C′的中心分別是O，O′，現將此三棱柱繞直線OO′旋轉，射線OA旋轉所成的角為x弧度（x可以取到任意一個實數），對應的俯視圖的面積為S（x），則函數S（x）的最大值為

8

；最小正周期為

π

3

．
說明：“三棱柱繞直線OO′旋轉”包括逆時針方向和順時針方向，逆時針方向旋轉時，OA旋轉所成的角為正角，順時針方向旋轉時，OA旋轉所成的角為負角．

Answer 1

分析：由題意判斷俯視圖的圖形的形狀，推出最大值時的位置，即可求解結果．

解答：解：由題意可知，正三棱柱的底面三角形的高為

3

，正三角形的邊長為2，
俯視圖是矩形，當此三棱柱繞直線OO′旋轉，在旋轉過程中對應的俯視圖，底面正三角形的邊在俯視圖中為矩形的邊長時，俯視圖的面積最大，令俯視圖的面積為S，則S的最大值為：2×4=8．
因為正三角形的內角均為60°，所以函數S（x）的最小正周期為

π

3

故答案為：8，

π

3

．

點評：本題考查三視圖與直觀圖的關系，解題的關鍵是判斷俯視圖的圖形的形狀，推出最大值時的位置．