Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為1，高為h（h＞2），動點M在側棱BB₁上移動．設AM與側面BB₁C₁C所成的角為θ．
（1）當θ∈[

π

6

，

π

4

]時，求點M到平面ABC的距離的取值范圍；
（2）當θ=

π

6

時，求向量

AM

與

BC

夾角的大小．

Answer 1

分析：（1）先設BC的中點為D，連接AD，DM，根據題中條件

△ABC為正三角形 D為AC中點

以及BB₁⊥平面ABC得到AD⊥平面BB₁CC₁．進而得到∠AMD即為AM與側面BCC₁所成角θ；然后在Rt△ADM，利用角θ來求點M到平面ABC的距離的取值范圍即可；
（2）先由第一問得BM=

2

；然后再把

AM

轉化為

AB

+

BM

，求出

AM

•

BC

即可表示出向量

AM

與

BC

夾角的大小．

解答：解：（1）設BC的中點為D，連接AD，DM，則有

△ABC為正三角形 D為AC中點

?AD⊥BC   ①
BB₁⊥平面ABC?AD⊥BB₁   ②
由①②得AD⊥平面BB₁CC₁．
于是，可知∠AMD即為AM與側面BCC₁所成角θ．
因為點M到平面ABC的距離為BM，設BM=x，x∈（0，h）．
在Rt△ADM中，tan∠AMD=

AD

MD

．
由AD=

3

2

，DM=

BD2+BM2

=

1+4x2

2

，
故tanθ=

3

1+4x2

．而當θ∈[

π

6

，

π

4

]時．tanθ∈[

3

3

，1]．
即

3

3

≤

3

1+4x2

≤1?3≤1+4x²≤9?

1

2

≤x²≤2．
所以，點M到平面ABC的距離BM的取值范圍是：[

2

2

，

2

]．
（2）：當θ=

π

6

時，由第一問得BM=

2

．
故可得DM=

3

2

，AM=

AD2+DM2

=

3

．
設

AM

與

BC

的夾角為α．
因為

AM

•

BC

=（

AB

+

BM

）•

BC

=

AB

•

BC

+

BM

•

BC

=1×1×cos120°+0=-

1

2

．
所以cosα=

AM • BC

| AM |•| BC |

=

- 1 2

3 •1

=-

3

6

故向量

AM

與

BC

的夾角大小為：π-arccos

3

6

．

點評：本題主要考查點到面的距離以及求兩個向量的夾角問題．解決第2問的關鍵在于把

AM

轉化為

AB

+

BM

，再代入求出

AM

•

BC

的值，從而得到結論．