Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的每條棱長均為a，M為棱A₁C₁上的動點．
（1）當M在何處時，BC₁∥平面MB₁A，并證明之；
（2）在（1）下，求平面MB₁A與平面ABC所成的二面角的大小；
（3）求B-AB₁M體積的最大值．

Answer 1

分析：（I）當M在A₁C₁中點時，BC₁∥平面MB₁A．連接NB₁并延長與CB延長線交于G，在△CGN中，利用BC₁為中位線得BC₁∥GN，從而可證BC₁∥平面MAB₁；
（II）可證∠MAC為平面MB₁A與平面ABC所成二面角的平面角，進而可求；
（Ⅲ）設動點M到平面A₁ABB₁的距離為h_M，利用等體積進行轉化，從而可求B-AB₁M體積最大值．

解答：解：（I）當M在A₁C₁中點時，BC₁∥平面MB₁A
∵M為A₁C₁中點，延長AM、CC₁，使AM與CC₁延長線交于N，則NC₁=C₁C=a
連接NB₁并延長與CB延長線交于G，則BG=CB，NB₁=B₁G     （2分）
在△CGN中，BC₁為中位BC₁∥GN
又GN?平面MAB₁，∴BC₁∥平面MAB₁ （4分）
（II）∵△AGC中，BC=BA=BG∴∠GAC=90°
即AC⊥AG     又AG⊥AA₁    AA₁∩AC=A∴AG⊥平面A₁ACC₁，AG⊥AM（6分）
∴∠MAC為平面MB₁A與平面ABC所成二面角的平面角∴tan∠MAC=

a

1 2 a

=2
∴所求二面角為 arctan2．（8分）
（Ⅲ）設動點M到平面A₁ABB₁的距離為h_M．VB-AB1M=VM-AB1B=

1

3

S△ABB1•hM=

1

3

•

1

2

a2hM≤

1

6

a2•

3

2

a=

3

12

a3
即B-AB₁M體積最大值為

3

12

a3．此時M點與C₁重合．   （12分）

點評：本題以正三棱柱為載體，考查線面平行，考查面面角，同時考查了幾何體的體積，綜合性強．