Question

設定義在(0,+∞)上的函數f(x)=ax++b(a>0).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=x,求a,b的值.

Answer 1

(1) 2+b   (2) a=2,b=-1

解:(1)法一　由題知,f(x)=ax++b≥2+b,
其中當且僅當ax=1時等號成立,
即當x=時,f(x)取最小值為2+b.
法二　f(x)的導數f′(x)=a-=,
當x>時,f′(x)>0,f(x)在（,+∞）上遞增;
當0<x<時,f′(x)<0,f(x)在（0,）上遞減.
所以當x=時,f(x)取最小值為2+b.
(2) f′(x)=a-,
由題設知,f′(1)=a-=,
解得a=2或a=-(不合題意,舍去).
將a=2代入f(1)=a++b=,解得b=-1.
所以a=2,b=-1.