Question

【題目】過拋物線）的焦點F且斜率為1的直線交拋物線C于M，N兩點，且．

（1）求p的值；

（2）拋物線C上一點，直線（其中）與拋物線C交于A，B兩個不同的點（A，B均與點Q不重合）．設直線QA，QB的斜率分別為.

（i）直線l是否過定點？如果是，請求出所有定點；如果不是，請說明理由；

（ii）設點T在直線l上，且滿足，其中為坐標原點．當線段最長時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）（i）直線恒過定點；

（i i）T與H重合時線段最長，此時直線方程為.

【解析】

（1）根據題意設出直線，聯立直線與拋物線根據即可求出

（2）（i）點聯立直線與拋物線C，即可得到，.又,代入直線，即可得出直線恒過定點，

（i i）設動點，由得動點在，即與重合時線段最長，及可求出直線方程為。

（1）拋物線的焦點為，設直線MN方程為

聯立拋物線方程可得

故：，

，解得

（2）（i）由（1）知拋物線C方程為，從而點，設，

，

，，.

由

可得，即，從而該式滿足式

即直線恒過定點

（i i）設動點，，

∴動點在，故與重合時線段最長，

此時直線，即：.