Question

【題目】已知函f（x）=x2﹣x+alnx．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證f（x2）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），

函數的導數f′（x）=2x﹣1+ ，

當a=1時，f（1）=1﹣1+1n1=0，

f′（1）=2﹣1+1=2，

即函數y=（x）在點（1，0）處的切線斜率k=2，

則對應的切線方程為y=2（x﹣1），即y=2x﹣2；

（2）證明：由題意，f（x）=x2﹣x+1+alnx的定義域為（0，+∞），

∴f′（x）=2x﹣1+ = ；

∵f（x）有兩個極值點x1，x2，

∴f′（x）=0有兩個不同的正實根x1，x2，

∵2x2﹣x+a=0的判別式△=1﹣8a＞0，解得a＜ ；

∴x1+x2= ，x1x2= ＞0，

∴a＞0；

綜上，a的取值范圍為（0， ）．

∵0＜x1＜x2，且x1+x2= ，

∴ ＜x2＜ ，a=x2﹣2 ，

∴f（x2）= ﹣x2+1+（x2﹣2 ）lnx2．

設t=x2，

令g（t）=t2﹣t+1+（t﹣2t2）lnt，其中 ＜t＜ ，

則g′（t）=（1﹣4t）lnt．

當t∈（ ， ）時，g′（t）＞0，

∴g（t）在（ ， ）上是增函數．

∴g（t）＜g（ ）=（ ）2﹣ +1+（ ﹣2×（ ）2）ln = ．

故f（x2）=g（x2）＜ ．

【解析】（1）對f（x）求導數，f′（x）=0有兩個不同的正實根x1 ， x2 ， 由判別式以及根與系數的關系求出a的取值范圍；（2）由x1、x2的關系，用x2把a表示出來，求出f（x2）的表達式與取值范圍即可得到結論．
【考點精析】關于本題考查的函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．