Question

（2006•廣州二模）某公司是一家專做產品A的國內外銷售的企業，第一批產品A上市銷售40天內全部售完．該公司對第一批產品A上市后的國內外市場銷售情況進行了跟蹤調查，調查結果如圖中一、二、三所示，其中圖一中的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關系；圖二中的拋物線表示的是國內市場的日銷售量與上市時間的關系；圖三中的折線表示的是每件產品A的銷售利潤與上市時間的關系（國內外市場相同）．
（1）分別寫出國外市場的日銷售量f（t）、國內市場的日銷售量g（t）與第一批產品A上市時間t的關系式；
（2）第一批產品A上市后的哪幾天，這家公司的日銷售利潤超過6300萬元？

Answer 1

分析：（1）由圖一中國外市場的日銷售量f（t）是一個分段函數，圖二中在兩段上均為一次函數，國內市場的日銷售量g（t）是二次函數，利用選定系數法易求出國外市場的日銷售量f（t）、國內市場的日銷售量g（t）與第一批產品A上市時間t的關系式；
（2）由圖三中產品A的銷售利潤h（t）與上市時間t的關系，我們可求出家公司的日銷售利潤為F（t）的解析式，分析函數的單調性后，結合函數的單調性可得第一批產品A上市后的哪幾天，這家公司的日銷售利潤超過6300萬元．

解答：解：（1）f(t)=

2t，(0≤t≤30) -6t+240  (30＜t≤40)

，g(t)=-

3

20

t2+6t（0≤t≤40）
（2）每件產品A的銷售利潤h（t）與上市時間t的關系為h(t)=

3t  (0≤t≤20) 60  (20＜t≤40)

設這家公司的日銷售利潤為F（t），
則F（t）=

3t(- 3 20 t2+6t+2t)  (0≤t≤20) 60(- 3 20 t2+6t+2t)  (20＜t≤30) 60(- 3 20 t2+6t-6t+240)  (30＜t≤40)

=

3t(- 3 20 t2+8t)  (0≤t≤20) 60(- 3 20 t2+8t)  (20＜t≤30) 60(- 3 20 t2+240)  (30＜t≤40)

當0≤t≤20時，F′(t)=-

27

20

t2+48t=t(48-

27

20

t)≥0，
故F（t）在[0，20]上單調遞增，此時F（t）的最大值是F（20）=6000＜6300；
當20＜x≤30時，令60（-

3

20

t2+8t）＞6300，解得

70

3

＜t＜30；
當30＜x≤40時，F（t）=60（-

3

20

t2+240）＜60（-

3

20

×302+240）=6300；
答：第一批產品A上市后，在第24，25，26，27，28，29天，這家公司的日銷售利潤超過6300萬元．

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，其中根據函數圖象，求出各個函數的解析式，是解答本題的關鍵．