Question

（2006•廣州二模）已知△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數列，且2cos2B-8cosB+5=0，求角B的大小并判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式將方程2cos2B-8cosB+5=0化為關于cosB的方程，解得cosB，從而由B的范圍確定角B的大小，再由余弦定理結合a、b、c成等差數列，得三角形邊的關系，最后確定三角形形狀

解答：解：由2cos2B-8cosB+5=0，可得4cos²B-8cosB+3=0，
即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB=

1

2

或cosB=

3

2

（舍去）．
∵0＜B＜π，∴B=

π

3

又∵a，b，c成等差數列，即a+c=2b．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

1

2

，
化簡得a²+c²-2ac=0，解得a=c，
∵B=

π

3

∴△ABC是等邊三角形．

點評：本題考查了二倍角公式，簡單的三角方程解法，余弦定理及其推論的用法，判斷三角形形狀問題的一般解決方法