Question

設函數f（x）=lnx+ax²+1，a∈R．
（1）當a=-

1

2

時，求函數y=f（x）的單調區間；
（2）若函數y=f（x）的圖象總在直線y=

1

2

的下方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數f'（x），在函數的定義域內解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數f（x）的單調區間；
（2）函數y=f（x）的圖象總在直線y=

1

2

的下方，可知f(x)max＜

1

2

，然后討論a的正負求出函數的最大值，建立不等式，解之即可；
解法二：函數y=f（x）的圖象總在直線y=

1

2

的下方，可知f(x)＜

1

2

恒成立，即  lnx+ax2+

1

2

＜0對于x∈（0，+∞）恒成立，然后利用參變量分離的方法進行求解．

解答：解：（1）當a=-

1

2

時，f(x)=lnx-

1

2

x2+1，f/(x)=-x+

1

x

，…（1分）
f/(x)=

1-x2

x

，令f′（x）=0，解得x=1或x=-1…（3分）

∵x＞0，x∈(0，1)，f/(x)＞0，

f（x）在（0，1）上單調遞增

x∈(1，+∞)，f/(x)＜0，

f（x）在（1，+∞）上單調遞增…（5分）
（2）法一：函數y=f（x）的圖象總在直線y=

1

2

的下方，可知f(x)max＜

1

2

…（6分）
f/(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

，x＞0…（7分）
①當a≥0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，無最大值故不成立…（8分）
②當a＜0時，f/(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

=

2a(x2+ 1 2a )

x

，x＞0
令f′（x）=0，則x=

- 1 2a

．
當x∈(0，

- 1 2a

]時，f′（x）＞0；
當x∈(

- 1 2a

，+∞)時，f′（x）＜0.f(x)在(0，

- 1 2a

]單調遞增，(

- 1 2a

，+∞)單調遞減
故x=

- 1 2a

為函數f（x）的唯一極大值點，…（10分）
所以函數f（x）的最大值為f（

- 1 2a

）=

1

2

+

1

2

ln（-

1

2a

）
由題意有

1

2

+

1

2

ln(-

1

2a

)＜

1

2

，解得a＜-

1

2

．…（12分）
（2）法二
函數y=f（x）的圖象總在直線y=

1

2

的下方，可知f(x)＜

1

2

恒成立 …（6分）
即  lnx+ax2+

1

2

＜0對于x∈（0，+∞）恒成立              …（7分）
于是有 a＜

-lnx- 1 2

x2

令g(x)=

-lnx- 1 2

x2

，x∈（0，+∞）…（8分）
則只需求g（x）的最小值即可．∵g′(x)=

2lnx

x3

∴g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；
∴g（x）在x=1處取到極小值，也就是最小值為-

1

2

…（10分）
所以a的取值范圍為(-∞，-

1

2

)．…（12分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性等基礎知識，熟練掌握利用導數研究函數的單調性、分類討論的思想方法等是解題的關鍵，屬于中檔題．