Question

設函數f（x）=ln（x+a）+x²(a＞

2

)，
（1）若a=

3

2

，解關于x不等式f(e

x

-

3

2

)＜ln2+

1

4

；
（2）證明：關于x的方程2x²+2ax+1=0有兩相異解，且f（m）和f（n）分別是函數f（x）的極小值和極大值（m，n為該方程兩根，且m＞n）．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的單調性，將不等式轉化為具體不等式，即可求得不等式的解集；
（2）依題意，f（x）的定義域為（-a，+∞），構造函數g（x）=2x²+2ax+1，利用判別式即可確定方程2x²+2ax+1=0有兩相異解，再研究函數的單調性，從而可證f（m）為f（x）的極小值，f（n）為f（x）的極大值．

解答：（1）解：a=

3

2

時，求導函數可得f′(x)=

2x2+3x+1

x+ 3 2

=

(2x+1)(x+1)

x+ 3 2

．  （2分）
f（x）的定義域為（-

3

2

，+∞）．      （3分）
當-

3

2

＜x＜-1時，f'（x）＞0；當-1＜x＜-

1

2

時，f'（x）＜0；當x＞

1

2

時，f'（x）＞0．
從而，f（x）在（-

3

2

，-1），（-

1

2

，+∞）單調增加，在（-1，-

1

2

）單調減少．（5分）
∵e

x

-

3

2

≥ -

1

2

，f（

1

2

）=

1

4

+ln2
∴不等式f(e

x

-

3

2

)＜ln2+

1

4

等價于e

x

-

3

2

＜

1

2

∴e

x

＜2= eln2
∴0≤x＜ln²2
即所求不等式的解集為{x|0≤x＜ln²2}．（7分）
（2）證明：依題意，f（x）的定義域為（-a，+∞），---（8分）
令g（x）=2x²+2ax+1，因為g（-a）=1=g（0）＞0，g（x）的對稱軸為x=-0.5a＞-a，
△=4a²-8a＞0（a²＞2），g（-a）=1＞0
∴g（x）在（-a，+∞）有兩個零點．即方程2x²+2ax+1=0有兩相異解------（11分）
由已知f（x）的定義域為{x|x＞-a}且f′(x)=2x+

1

x+a

=

2x2+2ax+1

x+a

---（11分），
若m，n（m＞n）方程2x²+2ax+1=0有兩相異解，則f'（x）＞0的解集為（-a，n）∪（m，+∞）（∵a＞0）（12分）

x	（-a，n）	n	（n，m）	m	（m，+∞）
y’	+	0	-	0	+
y	增	極大值	減	極小值	增

故f（m）為f（x）的極小值，f（n）為f（x）的極大值，（14分）

點評：本題以函數為載體，考查導數知識的運用，考查解不等式，考查函數的極值，解題的關鍵是利用導數確定函數的單調性．