Question

設函數f（x）=ln（x+a）+2x²．
（1）若當x=-1時，f（x）取得極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，方程ln（x+a）+2x²-m=0恰好有三個零點，求m的取值范圍；
（3）當0＜a＜1時，解不等式f（2x-1）＜lna．

Answer 1

分析：（1）把-1代入導函數對應的方程即可．
（2）轉化為兩個函數有三個不同的交點即可，y=m須位于極大值和極小值之間．
（3）先把lna轉化為f（0），在利用條件把變量轉化到同一單調區間內，利用單調性解題即可．

解答：解：∵f（x）=ln（x+a）+2x²．∴f'（x）=

1

x+a

+4x
（1）由f'（-1）=

1

-1+a

-4=0⇒a=

5

4

所以a的值為

5

4

．

（2）由（1）得f'（x）=

1

x+ 5 4

+4x=

(4x+1)(x+1)

x+ 5 4

，又因為x+

5

4

＞0，
所以f'（x）＞0⇒x＞-

1

4

，f'（x）＜0⇒-

5

4

x＜-1，
故f（x）的極大值為f（-

1

4

）=

1

4

，極小值為f（-1）=2+ln

1

4

，
ln（x+a）+2x²-m=0恰好有三個零點須有2+ln

1

4

＜m＜

1

4

，
故m的取值范圍是（2+ln

1

4

，

1

4

）．

（3）因為f'（x）=

1

x+a

+4x=

4x2+4ax+1

x+a

，
且f'（x）=0⇒x₁=

-a+ a2+1

2

＞0，x₂=

-a- a2+1

2

＜-a，
故f（x）在（-a，0）上遞減．又f（0）=lna．所以f（2x-1）＜lna⇒2x-1＞0⇒x＞

1

2

所以不等式f（2x-1）＜lna的解集是{x|x＞

1

2

}．

點評：本題考查利用極值求對應參數的值．可導函數的極值點一定是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點．