Question

如圖，圓x²+y²=4與y軸的正半軸交于點B，P是圓上的動點，P點在x軸上的投影是D，點M滿足

DM

=

1

2

DP

．
（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形．
（2）過點B的直線l與M點的軌跡C交于不同的兩點E、F，若

BF

=2

BE

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用P是圓上的動點，P點在x軸上的投影是D，點M滿足

DM

=

1

2

DP

．可得動點坐標之間的關系，利用P在圓x²+y²=4上，即可求得動點M的軌跡C的方程，從而可得所求軌跡；
（2）由

BF

=2

BE

知E是BF中點，由此可得E，F的坐標表示，代入橢圓方程，可求得E，F的坐標，進而可得直線l的方程．

解答：解：（1）設M（x，y），P（x₀，y₀），則題意DP⊥x軸且M是DP的中點，
所以

x0=x y0=2y

（2分）
又P在圓x²+y²=4上，所以x₀²+y₀²=4，即x²+（2y）²=4，即

x2

4

+y2=1（4分）
軌跡是以(

3

，0)與(-

3

，0)為焦點，長軸長為4的橢圓．（6分）
注：只說軌跡是橢圓扣（1分）．
（2）設E（x₀，y₀），由

BF

=2

BE

知E是BF中點，又B（0，2），所以F（2x₀，2y₀-2），因E，F都在橢圓x²+4y²=4上，所以

x02+4y02=4 x02+4(y0-1)2=1

（9分）
解得：x0=±

15

4

，y0=

7

8

（11分）
若E(±

15

4

，

7

8

)，則k=

y0-2

x0

=±

3 15

10

（13分）
所以直線l方程為：y=±

3 15

10

x+2（14分）

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合，主要考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓相交，關鍵是將向量關系轉化為坐標關系，從而得解．