Question

如圖，圓x²+y²=8內有一點P（-1，2），AB為過點P且傾斜角為α的弦，
（1）當α=135°時，求|AB|
（2）當弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程．
（3）求過點P的弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）過點O做OG⊥AB于G，連接OA，依題意可知直線AB的斜率，求得AB的方程，利用點到直線的距離求得OG即圓的半徑，進而求得OA的長，則OB可求得．
（2）弦AB被P平分時，OP⊥AB，則OP的斜率可知，利用點斜式求得AB的方程．
（3）設出AB的中點的坐標，依據題意聯立方程組，消去k求得x和y的關系式，即P的軌跡方程．

解答：解：（1）過點O做OG⊥AB于G，連接OA，當α=135⁰時，直線AB的
斜率為-1，故直線AB的方程x+y-1=0，∴OG=

|0+0-1|

2

=

2

2

∵r=2

2

∴AG=

8- 1 2

=

15 2

=

30

2

，
∴|AB|=2AG=

30

（2）當弦AB被P平分時，OP⊥AB，此時K_OP=-2，
∴AB的點斜式方程為y-2=

1

2

（x+1），即x-2y+5=0
（3）設AB的中點為M（x，y），AB的斜率為K，OM⊥AB，則

y-2=k(x+1) y=- 1 k x

消去K，得x²+y²-2y+x=0，當AB的斜率K不存在時也成立，
故過點P的弦的中點的軌跡方程為x²+y²-2y+x=0

點評：本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運用．解題的過程通過代數的運算解決代數問題，最后翻譯成幾何結論．