Question

【題目】已知拋物線：，點是上的不同于頂點的動點，上在點處的切線分別與軸軸交于點、．若存在常數滿足對任意的點都有．

（Ⅰ）求實數，的值；

（Ⅱ）過點作的垂線與交于不同于的一點，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）先求導數，利用導數幾何意義得切線斜率，根據點斜式得切線方程，即得、坐標，根據坐標化簡，最后根據等式恒成立得，的值；

（Ⅱ）先設，根據向量垂直坐標表示得與橫坐標關系，再根據兩點間距離公式得、，最后根據三角形面積公式得面積函數關系式，利用導數求其最值，即得結果.

（Ⅰ）設，則，

，

即．

分別與軸軸交于點、

，．

，

∵存在常數滿足對任意的點都有∴．

（Ⅱ）設，

∵，，故，即

又，故的面積為

取，則．

∴在上是減函數，在上是增函數．

∴當時，的最小值是．

故面積的最小值是．