Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）當時，求的單調區間；

（Ⅱ）若的值域為，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞增區間為，，單調遞減區間為；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用導數分析函數的單調性，作出函數的圖象，進而可作出函數的圖象，由此可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；

（Ⅱ）先證明出，然后分和，分別證明出當時，和當時，，由此可得出實數的取值范圍.

（Ⅰ）當時，，則，令，得.

列表如下：

		極小值

當時，；當時，.

作出函數的圖象如下圖所示：

由于，作出函數的圖象如下圖所示：

由圖象可知，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為；

（Ⅱ）由題意可知，方程必有解，又，即有解，

設，則.

當或時，；當或時，.

所以，函數的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，，且，，

作出函數的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當或時，即當或時，方程有解，

下面證明當且時，；當且時，.

先證，設，則.

當時，；當時，.

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

所以，.

①當時，若時，則，且函數連續，

當時，，則，

此時，函數的值域為；

當時，若時，，

當時，，當時，，，

又因為函數連續，則.

此時，函數的值域為.

綜上所述，實數的取值范圍是.