Question

【題目】（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中，且．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）函數(shù)的定義域為，．………………1分

當時，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；………………2分

當時，由，得；由，得，………………3分

所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)．………………4分

綜上：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為．………………5分

（2）不等式．………………6分

當時，取，，不合題意；………………7分

當時，令，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立時，求的取值范圍．………8分

由于．令，得，則

當時，，當時，，

所以，函數(shù)的最大值為，………………10分

于是由題意知，解得，

故實數(shù)的取值范圍是．………………12分

【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系、不等式恒成立，意在考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想、構(gòu)造法的應(yīng)用．