Question

已知f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）對于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據不等式的解集與方程解之間的關系可知2x²+bx+c=0的兩根為0，5，從而可求b、c的值，進而可求f（x）的解析式；
（2）要使對于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）_max≤2-t即可，從而可求t的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
∴2x²+bx+c=0的兩根為0，5
∴0+5=-

b

2

，0×5=

c

2

∴b=-10，c=0
∴f（x）=2x²-10x；
（2）要使對于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）_max≤2-t即可
∵f（x）=2x²-10x=2(x-

5

2

)2-

25

2

，x∈[-1，1]，
∴f（x）_max=f（-1）=12
∴12≤2-t
∴t≤-10

點評：本題重點考查函數的解析式，考查恒成立問題，解題的關鍵是利用好不等式的解集與方程解之間的關系，將恒成立問題轉化為函數的最值加以解決．