Question

【題目】如圖，四棱柱中，底面是矩形，且， ， ，若為的中點，且．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）線段上是否存在一點，使得二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，理由見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知得為等邊三角形， ，再由，能證明⊥平面ABCD．

（Ⅱ）過O作Ox∥AB，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出當BP的長為時，二面角的值為

試題解析：（Ⅰ）證明：∵，且，

∴為等邊三角形

∵為的中點

∴，

又，且，

∴平面．

（Ⅱ）解：過作，以為原點，建立空間直角坐標系（如圖）

則， ，

設，

平面的法向量為，

∵， ，

且，

取，得

平面的一個法向量為

由題意得，

解得或（舍去），

∴當的長為時，二面角的值為.