Question

甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標的概率分別為

1

2

，a，a（0＜a＜1），三人各射擊一次，擊中目標的次數記為ξ．
（1）求ξ的分布列及數學期望；
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）P（ξ）是“ξ個人命中，3-ξ個人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0，1，2，3.P(ξ=0)=

C

01

(1-

1

2

)

C

02

(1-a)2=

1

2

(1-a)2，P(ξ=1)=

C

11

•

1

2

C

02

(1-a)2+

C

01

(1-

1

2

)

C

12

a(1-a)=

1

2

(1-a2)，P(ξ=2)=

C

11

•

1

2

C

12

a(1-a)+

C

01

(1-

1

2

)

C

22

a2=

1

2

(2a-a2)，P(ξ=3)=

C

11

•

1

2

C

22

a2=

a2

2

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 2 (1-a)2	1 2 (1-a2)	1 2 (2a-a2)	a2 2

ξ的數學期望為Eξ=0×

1

2

(1-a)2+1×

1

2

(1-a2)+2×

1

2

(2a-a2)+3×

a2

2

=

4a+1

2

．
（2）P(ξ=1)-P(ξ=0)=

1

2

[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，P(ξ=1)-P(ξ=2)=

1

2

[(1-a2)-(2a-a2)]=

1-2a

2

，
P(ξ=1)-P(ξ=3)=

1

2

[(1-a2)-a2]=

1-2a2

2

．
由

a(1-a)≥0 1-2a 2 ≥0 1-2a2 2 ≥0

和0＜a＜1，得0＜a≤

1

2

，即a的取值范圍是(0，  

1

2

]．（10分）