Question

甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標的概率分別為

1

2

，a，a（0＜a＜1），三各射擊一次，擊中目標的次數記為X．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若P（X=1）的值最大，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定X的可能取值，求出相應的概率，即可得到X的分布列；
（Ⅱ）因為P（X=1）的值最大，所以P（X=1）-P（X=0）≥0，P（X=1）-P（X=2）≥0，P（X=1）-P（X=3）≥0，由此可建立不等式組，從而可求實數a的取值范圍．

解答：解：設“甲、乙、丙三名運動員各射擊一次擊中目標”分別為事件A，B，C，所以P(A)=

1

2

，P(B)=a，P（C）=a，且A，B，C相互獨立．…（1分）
（Ⅰ）X的可能取值為0，1，2，3．
所以P(X=0)=P(

.

A

.

B

.

C

)=P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

1

2

(1-a)2，
P(X=1)=P(A

.

B

.

C

)+P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)=-

1

2

a2+a，
P(X=2)=P(AB

.

C

)+P(A

.

B

C)+P(

.

A

BC)=-

1

2

a2+a，
P(X=3)=P(ABC)=

1

2

a2．
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 2 (1-a)2	- 1 2 a2+a	- 1 2 a2+a	1 2 a2

…（4分）
（Ⅱ）因為P（ζ=1）的值最大，
所以P（X=1）-P（X=0）≥0，P（X=1）-P（X=2）≥0，P（X=1）-P（X=3）≥0．…（6分）
所以

a(1-a)≥0 1-2a 2 ≥0 1-2a2 2 ≥0

又0＜a＜1，
解得0＜a≤

1

2

，
所以a的取值范圍是(0，

1

2

]．                        …（10分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列，解題的關鍵是確定變量的取值，求出相應的概率．