Question

（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)
已知函數f(x)＝2lnx，g(x)＝ax²＋3x.
（1）設直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點P、Q處的切線平行，若方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個不同的實根，求實數k的取值范圍；
（2）設函數F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數f(x)與g(x)的導函數；試問是否存在實數a，使得當x∈(0,1］時，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）f′(1)＝2，且P(1,0)，∴f(x)在P點處的切線方程為y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0…………………………………………………………………………（2分）
又g′(1)＝a＋3，∴a＝－1.…………………………………………………………（3分）
故g(x)＝－x²＋3x，則方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k可化為
ln(x²＋1)－x²＝k.令y₁＝ln(x²＋1)－x²，則＝－x＝－
令＝0得x＝－1,0,1.因此及y的變化情況如下表：

x	(－∞,－1)	－1	(－1,0)	0	(0,1)	1	(1,＋∞)
	＋	0	－	0	＋	0	－
y		極大值		極小值		極大值

且(y₁)_極大值＝ln2－，(y₁)_極小值＝0.……………………………………………………（6分）
又∵方程有四個不同實數根，函數y＝ln(x²＋1)－x²為偶函數，且當x²＋1＝e³(x＝＞1)時，ln(x²＋1)－x²＝3－(e³－1)＝－e³＜0＝(y₁)_極小值，所以0＜k＜ln2－.……………………………………………………………………………………………（8分）
（2）∵F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.
∴F(x)＝(a－3)x²－(a＋3)x－1.………………………………………………………（9分）
①當a＝3時，F(x)＝－6x－1在(0,1］上是減函數，可知F(x)取不到最大值.
②當a＜3時，F(x)的對稱軸為x＝，若x∈(0,1］時，F(x)取得最大值.則＞0解得a＜－3或a＞3，從而a＜－3.
③當a＞3時，若x∈(0,1］時，F(x)取得最大值，則＜時，此時a∈.
綜上所述，存在實數a∈(－∞,－3)，使得當x∈(0,1］時，F(x)取得最大值.……（13分）

略