Question

（本小題滿分12分）

已知函數定義域為，若對于任意的，都有，且時，有.

（1）求證: 為奇函數;

（2）求證: 在上為單調遞增函數;

（3）設,若<,對所有恒成立,求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）因為有，

令，得，所以，                       ……1分

令可得：

所以，所以為奇函數.                                 ……4分

（2）是定義在上的奇函數,由題意

則，

是在上為單調遞增函數;                                      ……8分

（3）因為在上為單調遞增函數，

所以在上的最大值為，                                ……9分

所以要使<,對所有恒成立，

只要>1,即>0，                                    ……10分

令

.                                              ……12分

考點：本小題主要考查有關抽象函數的奇偶性、單調性和恒成立問題，考查學生分析問題、解決問題和靈活轉化的能力.

點評：解決抽象函數問題常用的方法是“賦值法”，而要考查抽象函數的性質，還要借助圖象,數形結合來解決.對于恒成立問題，要轉為為求最值來解決，而（３）中將函數轉化為關于的函數，是這道題解題的亮點所在．