Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形， ， ， ， ， 是等邊三角形，且側面底面， 分別是， 的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成的二面角（銳角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）連接，交于點，連接， ，得到四邊形是平行四邊形，∴為的中點.由為的中點，可得，從而證明平面.

（Ⅱ）以為坐標原點，分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立如圖所示坐標系，

利用向量法能求出平面與平面所成的二面角（銳角）的余弦值．

試題解析：（Ⅰ）連接，交于點，連接， ，

∵且， 為的中點，∴， ，

∴四邊形是平行四邊形，∴為的中點.

∵為的中點，∴，

∵平面， 平面，∴平面.

（Ⅱ）連接，∵為的邊的中點，∴，

∵平面底面，∴底面，

∴， .

∵為的中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，

∵，∴，

以為坐標原點，分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立如圖所示坐標系，

設，則， ， ，

∴， ， ， ， ，

∴， ， ， ，

設平面的法向量為，

則.即，

令，得，

設平面的法向量為，

則.即，

令，得，

設平面與平面所成二面角的平面角為（銳角），

則.

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.