Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為菱形 且∠ABC＝120°，PA⊥底面ABCD，AB＝2，PA＝，

（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；

（2）求三棱錐P--BDC的體積。

（3）在線段PC上是否存在一點E，使PC⊥平面EBD成立．如果存在，求出EC的長；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1；（3） ．

【解析】試題分析：

（1）要證面面垂直，一般先證線面垂直，也即要證線線垂直，由菱形可得，又由平面得，從而可得直線與平面垂直，從而得證面面垂直；

（2）三棱錐的底面是，高為，由體積公式可得體積；

（3）假設(shè)存在，由線面垂直可得線線垂直，設(shè)，則，在中由相似三角形可求得長，反之只要有，就可得平面．

試題解析：

(1) 略證:通過證BD⊥AC,BD⊥PA,得出BD⊥平面PAC,又BD在平面PBD內(nèi),所以平面PBD⊥平面PAD

(2)

(3)假設(shè)存在，設(shè)，則 ，Δ ∽ΔCPA , .