Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

⑴求證：平面BCD；

⑵求異面直線AB與CD所成角余弦的大小；

⑶求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

方法一：

 

⑴證明：連結OC

        

       ，．

       在中，由已知可得   

而，  

       即

      

       ∴平面．

⑵解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為

BC的中點知，

∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角

在中，  

是直角斜邊AC上的中線，∴   

∴，

∴異面直線AB與CD所成角余弦的大小為

⑶解：設點E到平面ACD的距離為．

       ， 

       在中，,

       ,而，．

       ∴，

       ∴點E到平面ACD的距離為 

       方法二：⑴．同方法一．

       ⑵解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

      

       ，

       ∴ 異面直線AB與CD所成角余弦的大小為．

       ⑶解：設平面ACD的法向量為則

       ，

∴，令得是平面ACD的一個法向量．

       又

       ∴點E到平面ACD的距離     ．