Question

已知雙曲線

x2

2

-y2=1的兩焦點為F₁，F₂，P為動點，若PF₁+PF₂=4．
（Ⅰ）求動點P的軌跡E方程；
（Ⅱ）若A₁（-2，0），A₂（2，0），M（1，0），設直線l過點M，且與軌跡E交于R、Q兩點，直線A₁R與A₂Q交于點S．試問：當直線l在變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據雙曲線的方程為：

x2

2

-y²=1，則|FF₂|=2

3

，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，由此知點P的軌跡E是以F₁，F₂為焦點且長軸長為4的橢圓，并能求出其方程．
（II）對于存在性問題，可先假設存在，假設存在滿足條件的直線l在變化時，點S是否恒在一條定直線上，設直線a的方程為x=my+1，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用條件即可求得直線的方程，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（Ⅰ）由題意知：F1(-

3

，0)，F(

3

，0)，
又∵PF₁+PF₂=4，
∴動點P（x，y）必在以F₁，F₂為焦點，長軸長為4的橢圓，∴a=2，
又∵c=

3

，b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由題意，可設直線l為：x=my+1．
取m=0，得R(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)，直線A₁R的方程是y=

3

6

x+

3

3

，5
直線A₂Q的方程是y=

3

2

x-

3

，交點為S1(4，

3

)．
若R(1，-

3

2

)，Q(1，

3

2

)，由對稱性可知交點為S2(4，-

3

)．
若點S在同一條直線上，則直線只能為?：x=4．
以下證明對于任意的m，直線A₁R與直線A₂Q的交點S均在直線?：x=4上．
事實上，由

x2 4 +y2=1 x=my+1

，得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
記R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y1+y2=

-2m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

．
設A₁R與?交于點S₀（4，y₀），由

y0

4+2

=

y1

x1+2

，得y0=

6y1

x1+2

．
設A₂Q與?交于點S₀^′（4，y₀^′），由

y0′

4-2

=

y2

x2-2

，得y0′=

2y2

x2-2

．
∵y0-y0′=

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

6y1(my2-1)-2y2(my1+3)

(x1+2)(x2-2)

=

4my1y2-6(y1+y2)

(x1+2)(x2-2)

=

-12m m2+4 - -12m m2+4

(x1+2)(x2-2)

=0，
∴y₀=y₀^′，即S₀與S₀^′重合，
這說明，當m變化時，點S恒在定直線?：x=4上．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．