Question

已知雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1的準線過橢圓

x2

4

+

y2

b2

=1的焦點，且直線y=kx+2與橢圓在第一象限至多只有一個交點，則實數k的取值范圍為

（-∞，1]∪[-

1

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：先求得準線方程，可推知a和b的關系，進而根據c²=a²-b²求得b，橢圓的方程可得，與直線y=kx+2聯立消去y，根據判別式等于0求得k，結合圖形可得k的范圍．

解答：解：根據題意，易得準線方程是x=±

a2

b

=±1
所以c²=a²-b²=4-b²=1即b²=3
所以方程是

x2

4

+

y2

3

=1
聯立y=kx+2可得3x²+（4k²+16k）x+4=0
由△=0，解得k=-

1

2

，
當直線y=kx+2過點A（2，0）時，k=-1，結合可得，直線y=kx+2與橢圓在第一象限至多只有一個交點，則實數k的取值范圍為 （-∞，1]∪[-

1

2

，+∞）．
故答案為：（-∞，1]∪[-

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關鍵是先根據橢圓的性質求出橢圓的方程．