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設(shè)A、B、C、D是半徑為R的球面上的四點(diǎn)，且滿足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD，則S_△ABC+S_△ABD+S_△ACD的最大值是（　　）

A、R²

B、2R²

C、3R²

D、4R²

分析：三棱錐A-BCD是長方體的三個(gè)面，擴(kuò)展為長方體，它的對(duì)角線就是球的直徑，設(shè)出AB=a，AC=b，AD=c，求出三個(gè)三角形面積的和，利用直徑等于長方體的對(duì)角線的關(guān)系，以及基本不等式，求出面積最大值．

解答：解：設(shè)AB=a，AC=b，AD=c，
因?yàn)锳B，AC，AD兩兩互相垂直
所以a²+b²+c²=4R²
S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB=

（ab+ac+bc）≤

（a²+b²+c²）=2R²
即最大值2R²
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接體問題，考查基本不等式，空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長BD至點(diǎn)E．
求證：AD的延長線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=

1	2
-1	4

（1）求A的逆矩陣A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

t+1

（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，求證：

≥

b+c

c+a

a+b

．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi) 作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．如圖，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點(diǎn)，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點(diǎn)D、E．求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長．
B．已知二階矩陣A=

2	a
b	0

屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為

-3

，求矩陣A的逆矩陣．

C．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直線l的參數(shù)方程為

x=-

y=1+t

（t為參數(shù)，t∈{R}）．試求曲線C上點(diǎn)M到直線l的距離的最大值．
D．（1）設(shè)x是正數(shù)，求證：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個(gè)使它不成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
21-1．（選修4-2：矩陣與變換）
設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到2倍，縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
（2）求逆矩陣M^-1以及橢圓

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．
21-2．（選修4-4：參數(shù)方程）
以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸．已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，-5），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（4，

），若直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為

，圓C以M為圓心、4為半徑．
（1）求直線l關(guān)于t的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•黑龍江）選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C₁的參數(shù)方程是

x=2cos?

y=3sin?

(?為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C₂的坐標(biāo)系方程是ρ=2，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C₂上，且A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，

)
（1）求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)；
（2）設(shè)P為C₁上任意一點(diǎn)，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點(diǎn)，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點(diǎn)E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α1=

，特征值λ₂=-1及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α2=

-1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度），已知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（-2，6），點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(4，

)，直線l過點(diǎn)A且傾斜角為

，圓C以點(diǎn)B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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