Question

（2012•黑龍江）選修4-4；坐標系與參數方程
已知曲線C₁的參數方程是

x=2cos? y=3sin?

(?為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線C₂的坐標系方程是ρ=2，正方形ABCD的頂點都在C₂上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為(2，

π

3

)
（1）求點A，B，C，D的直角坐標；
（2）設P為C₁上任意一點，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定點A，B，C，D的極坐標，即可得點A，B，C，D的直角坐標；
（2）利用參數方程設出P的坐標，借助于三角函數，即可求得|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范圍．

解答：解：（1）點A，B，C，D的極坐標為(2，

π

3

)，(2，

5π

6

)，(2，

4π

3

)，(2，

11π

6

)
點A，B，C，D的直角坐標為(1，

3

)，(-

3

，1)，(-1，-

3

)，(

3

，-1)
（2）設P（x₀，y₀），則

x0=2cosφ y0=3sinφ

(φ為參數）
t=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=4x²+4y²+16=32+20sin²φ
∵sin²φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]

點評：本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查圓的參數方程的運用，屬于中檔題．