Question

【題目】已知函數 ．

（Ⅰ）若的極小值為，求的值；

（Ⅱ）若對任意,都有恒成立，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a=e；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）求導，當時顯然不成立，當時，由得，分析單調性，從而可得解；

（Ⅱ）令，，令，得，進而討論和，結合分析單調性即可得解.

詳解：（Ⅰ）

①當時，恒成立，無極值；

②當時，由得，并且

當時，；當時，.

所以，當時， 取得極小值；

依題意，，，

又，；

綜上，.

（Ⅱ） 令，則,.

令，則當時，，單調遞增，.

①當時， 在上單調遞增，；

所以，當時，對任意恒成立；

②當時，，，

所以，存在，使（此處用“當時，存在，使”證明，扣1分），

并且，當時，，在上單調遞減，

所以，當時，，

所以，當時，對任意不恒成立；

綜上，的取值范圍為.