Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣1+ （a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）求函數f（x）的極值；
（3）當a=1時，若直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得f′（x）=1﹣ ，

∴f′（1）=1﹣ ，

由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，得 ，即a=e

（2）解：由f′（x）=1﹣ ，知

若a≤0，則f′（x）＞0，函數f（x）在實數集內為增函數，無極值；

若a＞0，由f′（x）=1﹣ =0，得x=lna，

當x∈（﹣∞，lna）時，f′（x）＜0，當x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0．

∴f（x）在（﹣∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增

（3）解：當a=1時，f（x）=x﹣1+ ，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，

則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點，

等價于方程g（x）=0在R上沒有實數解．

假設k＞1，此時g（0）=1＞0，g（ ）=﹣1+ ＜0，

又函數g（x）的圖象連續不斷，由零點存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，

與“方程g（x）=0在R上沒有實數解”矛盾，故k≤1．

又k=1時，g（x）= ＞0，知方程g（x）=0在R上沒有實數解．

∴k的最大值為1

【解析】（1）求出原函數的導函數，依題意f′（1）=0，從而可求得a的值；（2）f′（x）=1﹣ ，分①a≤0時②a＞0討論，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，從而可求其極值；（3）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ ，則直線l：y=kx﹣1與曲線y=f（x）沒有公共點，等價于方程g（x）=0在R上沒有實數解，分k＞1與k≤1討論即可得答案．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．