Question

如圖，以橢圓的中心O為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓．過橢圓右焦點F（c，0）（c＞b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A．連接OA交小圓于點B．設直線BF是小圓的切線．
（1）求證c²=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；
（2）設直線BF交橢圓于P、Q兩點，求證•=b²．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用Rt△OFA∽Rt△OBF，找到對應邊的比值相等即可證明c²=ab，再求出直線OA的斜率，利用OA與直線BF垂直可得直線BF的斜率，進而求出直線BF的方程以及BF與y軸的交點M的坐標；
（2）先把直線BF的方程與橢圓方程聯立，求出關于P、Q兩點的坐標以及直線BF的斜率之間的等量關系，代入•整理可得結論．（注意整理過程中要細心）
解答：解：（1）由題設條件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，
故，即，因此c²=ab．①（2分）
在Rt△OFA中，FA===b
于是，直線OA的斜K_OA=．設直線BF的斜率為k，k=-=-．
所以直線BF的方程為：（5分）
直線BF與y軸的交點為．（6分）
（2）由（1），得直線BF得方程為y=kx+a，②
由已知，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則它們的坐標滿足方程③
由方程組③消y，并整理得（b²+a²k²）x²+2a³x²+2a³kx+a⁴-a²b²=0，④
由式①、②和④，.

綜上，得到，（12分）
又因a²-ab+b²=a²-c²+b²=2b²，得
（15分）
點評：本題是對橢圓與圓以及直線與橢圓位置關系的綜合考查．這一類型題目，思路比較清晰，就是整理過程要求比較高，所以在做題時，一定要認真，細致．